まずは、移動先サーバーから移動元サーバーへDBのリモート接続が可能なようにします。
一般的にはDB（MySQL)は、自サーバー内に用意することが多いためlocalhostのみ接続OKとするようにし、ファイアウォールや、MySQLの設定でがいぶからのせつぞくをきょひしていたり、ユーザにリモート接続の権限を与えないようにしたりしています。
今回はそれを外部接続OKと許可を出し、新サーバーから、旧サーバーにDBを接続します。
新サーバー側で、旧サーバーのDBに対してダンプ処理を行ってエクスポートファイルを生成すれば、それは、新サーバーのディスクに書き出すわけですから、旧サーバーの容量がなくても全く問題なくエクスポートができるわけです。
DB単位でエクスポートさらにはトランザクション関係を意識したエクスポートを行うことで、きれいに吸い出すことができました。
そのまま、新サーバー側のMySQLにインポート。
これにてうまくマイグレーションを行うことができました。